Compositore e direttore d'orchestra danese. Studiò ed esordì come violinista a Copenaghen, dove nel 1841 fu eseguita con successo la sua prima composizione, l'ouverture Echi di Ossian. Nel 1843 Mendelssohn diresse a Lipsia la sua prima sinfonia. G. si trasferì in quella città e vi strinse amicizia con Schumann e Mendelssohn, al quale succedette nel 1847 alla direzione del Gewandhaus. Ma già nel 1848 ritornò a Copenaghen per restarvi fino alla morte. G. si adoperò intensamente per il rinnovamento della vita musicale danese, dirigendo numerosi concerti, in cui divulgò il romanticismo tedesco, e lavorando come organista e organizzatore. Compose, tra l'altro, 3 balletti, 8 sinfonie, 7 ouvertures, 15 cantate, 1 concerto per violino e orchestra (1880), musica da camera (1 quartetto, 1 quintetto, 1 sestetto e 1 ottetto per archi, 1 trio con pianoforte, 3 sonate per violino e pianoforte), 1 sonata e altri pezzi per pianoforte, pezzi corali e organistici. La sua musica, influenzata da Mendelssohn e dal primo romanticismo tedesco in genere, accoglie melodie e ritmi popolari danesi; per questo G. va considerato come uno dei primi rappresentanti delle scuole nazionali nordiche, nate, appunto, dalla fusione tra il sinfonismo romantico tedesco e la tradizione nazionale popolare.